Probabilidade - União de dois eventos

Para um melhor entendimento da matéria, será explicado em dois exemplos. No primeiro exemplo a intersecção entre os eventos é vazia, no segundo não.

Exemplo 1

Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade de obtermos um número menor que 3 ou maior que 4?

Como sabemos, neste exemplo o espaço amostral é composto de seis elementos descritos abaixo:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Chamemos de A o evento que representa a ocorrência de números menores que 3:


A = { 1, 2 }

Agora vamos chamar de B o evento que representa a ocorrência de um números maiores que 4:

B = { 5, 6 }

Como o número de elementos de S é 6, temos que n(S) = 6.
Para A temos n(A) = 2 e para B temos também n(B) = 2.
Podemos então calcular a probabilidade de A:



E também a probabilidade de B:



A probabilidade procurada pode ser obtida simplesmente somando P(A) com P(B) como na fórmula abaixo:



Então teremos:



Portanto:

A probabilidade de obtermos um número menor que 3 ou maior que 4 é igual a ²/₃.

Exemplo 2

Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade de obtermos um número primo ou um número ímpar?

Assim como no exemplo anterior, neste exemplo o espaço amostral também é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Vamos chamar de A o evento que representa a ocorrência de um número primo:

A = { 2, 3, 5 }

Chamemos de B o evento que representa a ocorrência de um número ímpar:

B = { 1, 3, 5 }

Como o número de elementos de S é 6, temos que n(S) = 6.

Para A temos n(A) = 3 e para B temos n(B) = 3.

Podemos então calcular a probabilidade de A:



E também a probabilidade de B:



Se simplesmente somarmos as probabilidades P(A) e P(B) como no exemplo anterior, a probabilidade da união será igual 1, que facilmente podemos constatar não se tratar de um valor correto, pois isto significa uma probabilidade de 100%, mas o espaço amostral também possui os números 4 e 6, que não são primos e muito menos ímpares.

Agora observe que 3 e 5 pertencem tanto a A quanto a B, ou seja:



Como 3 e 5 estão na intersecção de A com B, eles estão sendo considerados tanto em P(A), quanto em P(B), por isto se simplesmente somarmos P(A) + P(B), os estaremos considerando em dobro, por este motivo devemos subtrair , para que eles sejam considerados uma única vez. Podemos então escrever a seguinte fórmula:



Para podermos utilizar esta fórmula, precisamos calcular a probabilidade de :



Finalmente temos:

A probabilidade de obtermos um número primo ou um número ímpar ao lançarmos um dado é igual a ²/₃.

Lembre-se:

Para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos, quando há elementos comuns, isto é, a intersecção é não vazia, utilize a fórmula:



Como no caso de intersecção vazia , se preferir você pode simplesmente utilizar a fórmula: