Permutação e Permutação com Letras e Números

Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo:

A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:

Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim:

P₁₀ = 10! = 3.628.800


Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação entre si dessas repetições seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavra MATEMÁTICA será:



Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar 151200 anagramas.

Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutação com elementos repetidos é calculada utilizando a seguinte fórmula:

Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n₁ vezes, n₂ vezes e n_nvezes. Então, a permutação é calculada:




Exemplo:
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos:

Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.

Exemplo 3:

Quantos anagramas com a palavra BARREIRA podem ser formados, sendo que deverá começar com a letra B?

B ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

↓                          ↓

1                       P^2,3₇

1 . P^2,3₇ =   7!    = 420

                  2! . 3!

Portanto, com a palavra BARREIRA podemos formar 420 anagramas.

Permutação com letras e Números 

Todas as pessoas devem possuir uma certidão de nascimento ou carteira de identidade. O CPF e o título de eleitor também são documentos imprescindíveis para qualquer cidadão. Todos esses documentos possuem o nome da pessoa e um número de identificação que facilita o acesso às informações cadastrais de cada civil.

Os veículos também possuem um cadastro com diversas informações sobre cor, modelo, ano, número de chassi, numeração do motor, potência, proprietário, endereço de localização, entre outras. O acesso a esses dados cadastrais é realizado através da placa de identificação do veículo.

Anteriormente, as placas eram formadas por uma combinação de duas letras e quatro números. Considerando que o alfabeto é composto de 26 letras e nosso sistema de numeração por 10 dígitos, as permutações possíveis eram dadas por:

26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 6.760.000

Em cada coluna das letras temos a opção de 26 letras e, no caso dos números, a opção de 10 dígitos.

Conforme o aumento do número de carros no decorrer dos anos, os departamentos responsáveis pelo registro dos carros em circulação resolveram adotar a presença de mais uma letra nas placas dos automóveis. Essa medida aumentou o número de possibilidades de combinação. Observe:

26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 175.760.000

Os cálculos apresentados fornecem todas as possíveis permutações, inclusive envolvendo identificações de mesmas letras e números. Por exemplo:

AAA – 0000
PPP – 1111
TTT – 8888
XXX – 4444

Caso seja necessário calcular o número de permutações somente de placas com elementos distintos, devemos adotar o seguinte cálculo matemático:

26 * 25 * 24 * 10 * 9 * 8 * 7 = 78.624.000

Exemplos:

ABC – 1234
JDT – 8547
PTA – 1238
TDX – 5621

Podemos ter algumas outras restrições podem ser utilizadas na elaboração das placas. Veja:

Somente as letras distintas

26 * 25 * 24 * 10 * 10 * 10 * 10 = 156.000.000

Exemplos:

ABC – 2255
PDR – 8888
XTA – 8787
NKS – 9025

Somente os números distintos

26 * 26 * 26 * 10 * 9 * 8 * 7 = 88.583.040

Exemplos

AAP – 1258
BBV – 8742
LKL – 5468
HIJ – 7236