Binômio de Newton
Denomina-se
Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)n ,
sendo n um número natural .
Exemplo: B = (3x -
2y)4 ( onde a = 3x, b =
-2y e n = 4 [grau do binômio] ).
Nota
1: Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727). Suas contribuições à
Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em
1687.
Exemplos
de desenvolvimento de binômios de Newton : a) (a + b)2 = a2 +
2ab + b2 b) (a + b)3 = a3 + 3
a2b +
3ab2 + b3 c)
(a + b)4 = a4 + 4
a3b +
6 a2b2 +
4ab3 + b4 d)
(a + b)5 = a5 + 5
a4b +
10 a3b2 +
10 a2b3 +
5ab4 + b5
Nota
2: Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de
formação bem definida, senão vejamos:
Vamos
tomar por exemplo, o item (d) acima: Observe que o expoente do primeiro e
últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5. A
partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte
regra prática de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente
e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do
próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do
item (d) acima teríamos: 5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo
anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do
terceiro termo procurado.
Observe
que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b
crescem
de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2
(observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b
cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o
desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será: (a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7 Como obtivemos, por
exemplo, o
coeficiente do 6º termo (21 a2b5) ?
Pela
regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a
que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5. Então, 35
. 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o
coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.
Observações:
1) o
desenvolvimento do binômio (a + b)n é
um polinômio. 2) o desenvolvimento de (a + b)n
possui n + 1 termos . 3) os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos
, no desenvolvimento
de (a + b)n são iguais . 4) a soma dos
coeficientes de (a + b)n
é igual a 2n .
Fórmula do termo geral de um Binômio de
Newton
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento
de (a+b)n , sendo p um número
natural, é dado por onde é denominado
Número Binomial e Cn.p é o número de
combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja,
o número de combinações simples de n elementos de
taxa p. Este número é também conhecido como Número Combinatório.
Exercícios Resolvidos:
1 -Determine o 7º termo do binômio (2x
+ 1)9 , desenvolvido segundo as potências
decrescentes
de x.
Solução:
Vamos aplicar a fórmula do termo geral
de (a + b)n
, onde a = 2x , b = 1 e n= 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na
fórmula do termo geral e efetuamos os
cálculos
indicados. Temos então: T6+1 = T7 = C9,6 .
(2x)9-6 .
(1)6 =
9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! /
3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 =
672x3.
Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.
2 - Qual o termo
médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?
Solução:
Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o
desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5
T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo
médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao
cálculo do T5 . Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do
termo geral e
efetuar os cálculos decorrentes. Teremos: T4+1 = T5 = C8,4 .
(2x)8-4
(2x)4 .
(3y)4 =
8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4
Fazendo
as contas vem: T5 = 70.16.81.x4 . y4 =
90720x4y4 ,
que é o termo médio procurado.
.
(3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] .
3
-Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n ,
obtemos um polinômio de 16 termos . Qual o valor de n?
Solução:
Ora,
se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é
igual a 15. Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.
4 - Qual a soma dos
coeficientes dos termos do desenvolvimento de :
a)
(2x - 3y)12 ? Resp: 1 b) (x - y)50 ?
Resp: 0
Solução:
a)
basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 =
(-1)12 = 1
b) analogamente, fazendo x = 1 e y = 1, vem: S = (1 -1)50 = 050 =
0.
5 -Determine o termo
independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .
Solução:
Sabemos que o termo independente de x é aquele que não
depende de x, ou seja, aquele que não possui x. Temos no problema dado: a = x ,
b = 1/xe n = 6.
Pela fórmula do termo
geral, podemos escrever:
6-p6-2p
Tp+1 = C6,p . x6-p .
(1/x)p = C6,p . x . x-p =
C6,p . x. Ora, para que o termo seja
independente
de x, o expoente desta variável deve
ser zero, pois x0
= 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos
o termo procurado. Temos então: T3+1 =
T4 = C
6,3 . x0 = C6,3 =
6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20. Logo, o termo independente de x
é o T4
(quarto termo) que é igual a 20.
Exercícios propostos
1) Qual é o termo em x5 no desenvolvimento
de (x + 3)8 ?
2) Determine a soma dos
coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7 .
3) Qual
é o valor do produto dos coeficientes do 2º e do penúltimo termo do
desenvolvimento de (x - 1)80 ?
4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão
[(x + 1/x) . (x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor: a) 10
b) -10 c) 20 d) -20 e) 36
5) UF. VIÇOSA - A soma
dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é
625. O valor de m é: a) 5 b) 6 c)10 d) 3 e) 4
6) MACK-SP
- Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 +
1/(2x))n estão em progressão aritmética.O valor
de n é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
7) No
desenvolvimento de (3x + 13)n há
13 termos. A soma dos coeficientes destes termos é igual a: Resp: 248
8 -UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no
desenvolvimento do binômio (a + b)m é
igual a 256, calcule (m/2)! Resp: 24
9
-UFBA -88 - Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 +
1/x)9.
Resp: O termo independente de x é o sétimo e é igual a 84.
10
-Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)10.
Resp: 1024
Gabarito:
1)
T4 =
1512.x5 2) – 128 3)
6400 4) D 5) E 6) 8
7) 248 8) 24 9) 84 10)
1024
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