Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.
Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. De quantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessário utilizar as propriedades da análise combinatória.
Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades da análise combinatória:
- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos
Anagramas
As permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, por isso são diferentes entre si somente pela ordem em que é colocado.
Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutações simples de seus elementos são: 234, 243, 324, 342, 423 e 432.
Indicamos o número de Permutações simples de n elementos distintos por Pn = n!
Exemplo 1
Quais os anagramas da palavra AMOR?
Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, ou seja, silabas em qualquer lugar.
Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.
Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas.
Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .
Exemplo 2
Formar os anagramas a partir da palavra PATO
Pelo Princípio Fundamental da Contagem podemos dizer que é possível formar 24 sequências.
P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAO
APTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPT
TAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOA
OAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAP
Exemplo 3
Chico e Maria têm três filhos: Paulo, Andreia e Fatima. Eles querem tirar uma foto de recordação na qual todos apareçam lado a lado. Quantas fotos diferentes podem ser registradas?
A forma como irão se distribuir corresponde a uma permutação entre eles, então:
P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas.
Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutações simples de seus elementos são: 234, 243, 324, 342, 423 e 432.
Indicamos o número de Permutações simples de n elementos distintos por Pn = n!
Exemplo 1
Quais os anagramas da palavra AMOR?
Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, ou seja, silabas em qualquer lugar.
Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.
Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas.
Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .
Exemplo 2
Formar os anagramas a partir da palavra PATO
Pelo Princípio Fundamental da Contagem podemos dizer que é possível formar 24 sequências.
P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAO
APTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPT
TAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOA
OAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAP
Exemplo 3
Chico e Maria têm três filhos: Paulo, Andreia e Fatima. Eles querem tirar uma foto de recordação na qual todos apareçam lado a lado. Quantas fotos diferentes podem ser registradas?
A forma como irão se distribuir corresponde a uma permutação entre eles, então:
P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas.
Nas situações envolvendo problemas de contagem podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem. Mas em algumas situações os cálculos podem tornar complexos e trabalhosos. Visando facilitar o desenvolvimento dos cálculos, alguns métodos e técnicas foram desenvolvidos no intuito de determinar agrupamentos nos problemas de contagem, sendo os Arranjos e as Combinações.
Vamos estabelecer algumas diferenças entre arranjos e combinações. Os arranjos são caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos. Já as combinações são caracterizadas pela natureza dos elementos.
Vamos estabelecer algumas diferenças entre arranjos e combinações. Os arranjos são caracterizados pela natureza e pela ordem dos elementos escolhidos. Já as combinações são caracterizadas pela natureza dos elementos.
Arranjos
Dado o conjunto B = {2, 4, 6, 8}. Os agrupamentos de dois elementos do conjunto B, são:
{(2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,8), (8,2), (8,4), (8,6)}
Veja que cada arranjo é diferente do outro. Portanto, são caracterizados:
Pela natureza dos elementos: (2,4) ≠ (4,8)
Pela ordem dos elementos: (1,2) ≠ (2,1)
Combinação
Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:
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Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois:
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Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina entre outras. A megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n = 60 e p = 6, sessenta números tomados seis a seis.
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Na mega sena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis.
Exemplo - Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas?
Resolução
O número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão:
Exemplo - Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas?
Resolução
O número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão:
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Poderão ser formadas 4060 equipes.
Exemplo 1 – Arranjos simples
Em um colégio, dez alunos candidataram-se para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente do grêmio estudantil. De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita?
Temos dez alunos disputando duas vagas, portanto, dez elementos tomados dois a dois.
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Exemplo 2 – Combinações
Lucas vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?
Temos nove camisetas tomadas quatro a quatro.
Lucas vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?
Temos nove camisetas tomadas quatro a quatro.
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A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.
Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são:
312, 321, 132, 123, 213, 231
Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem.
Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.
Veja o exemplo abaixo:
Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.
Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.
Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois). Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de elementos:
A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6
Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por exemplo:
Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela ordem dos seus elementos.
Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.
Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte forma: A n , p
A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:
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Exemplo 2:
Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?
Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula:
Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são:
312, 321, 132, 123, 213, 231
Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem.
Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.
Veja o exemplo abaixo:
Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.
Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.
Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois). Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de elementos:
A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6
Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por exemplo:
Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela ordem dos seus elementos.
Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.
Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte forma: A n , p
A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:
Exemplo 2:
Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?
Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula:
A n , p = n!
(n – p)!
Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a fórmula.
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(n – p)!
Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a fórmula.
Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 é 1860480.
Parte do material retirado o site Brasil Escola
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